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<!DOCTYPE html>

<title>Von-Neumann-Algebra</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Von-Neumann-Algebra</h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr">Eine Von-Neumann-Algebra oder W*-Algebra ist eine mathematische Struktur in der <a href="Funktionalanalysis" title="Funktionalanalysis">Funktionalanalysis</a>. Historisch beginnt die Theorie der Von-Neumann-Algebren mit den grundlegenden von 1936 bis 1943 erschienenen Arbeiten von <a href="Francis_J._Murray" title="Francis J. Murray">Francis J. Murray</a> und <a href="John_von_Neumann" title="John von Neumann">John von Neumann</a> On rings of operators.<a href="#cite_note-1">[1]</a><a href="#cite_note-2">[2]</a><a href="#cite_note-3">[3]</a> Der Name Von-Neumann-Algebra für derartige Algebren geht auf einen Vorschlag von <a href="Jean_Dieudonn%C3%A9" title="Jean Dieudonné">Jean Dieudonné</a> zurück.<a href="#cite_note-4">[4]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definition">Definition</h2></div>

Eine Von-Neumann-Algebra <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> (benannt nach <a href="John_von_Neumann" title="John von Neumann">John von Neumann</a>) oder (mittlerweile veraltet) ein Ring von Operatoren ist eine *-Unter<a href="Algebraische_Struktur" title="Algebraische Struktur">algebra</a> mit Eins der Algebra <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L\left(H\right)}">

<mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L\left(H\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ba7386cbc9cf326b2d81752b07ddb471fe2f4b49.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.843ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle L\left(H\right)}" loading="lazy"> der beschränkten <a href="Linearer_Operator" title="Linearer Operator">linearen Operatoren</a> eines <a href="Hilbertraum" title="Hilbertraum">Hilbertraums</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}" loading="lazy">, die eine (und damit alle) der drei folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A=A''}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9d1db450b2e4d7879df9628a017fb2b3b6b3c3c4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.722ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A=A''}" loading="lazy">.</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> ist <a href="Topologischer_Raum" title="Topologischer Raum">abgeschlossen</a> in der <a href="Starke_Operatortopologie" class="mw-redirect" title="Starke Operatortopologie">starken Operatortopologie</a>.</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> ist <a href="Topologischer_Raum" title="Topologischer Raum">abgeschlossen</a> in der <a href="Schwache_Operatortopologie" class="mw-redirect" title="Schwache Operatortopologie">schwachen Operatortopologie</a>.</li></ul>

Hierbei ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A':={\bigl \{}x\in L(H)\,|\,\forall a\in A:\,xa=ax{\bigr \}}}">

<msup>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A':={\bigl \{}x\in L(H)\,|\,\forall a\in A:\,xa=ax{\bigr \}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/29ae3d242c4f16c9fccbaa135c92d416a6214242.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:37.579ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle A':={\bigl \{}x\in L(H)\,|\,\forall a\in A:\,xa=ax{\bigr \}}}" loading="lazy"> die <a href="Zentralisator" title="Zentralisator">Kommutante</a> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> und entsprechend <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A''}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A''}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/72d00703267032c414d92a0473cad02eefbb8125.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.88ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A''}" loading="lazy"> die Kommutante von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A'}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/98a12527148d6ed68adc91d9b419eb4b92d58ef6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.428ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A'}" loading="lazy">.

Die Äquivalenz der drei obigen Aussagen nennt man den von Neumannschen Doppelkommutantensatz oder Bikommutantensatz. Diese Aussage kann wie folgt verschärft werden:

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\subset L(H)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ba2756dd7ecfcd594b35623d2405f5819397bc6b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.297ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle A\subset L(H)}" loading="lazy"> eine *-Unteralgebra mit Eins, so ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A''}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A''}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/72d00703267032c414d92a0473cad02eefbb8125.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.88ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A''}" loading="lazy"> der Abschluss von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> sowohl in der schwachen als auch in der starken Operatortopologie.</li></ul>

Auch diese Formulierung, die eine Äquivalenz zwischen der rein algebraischen Kommutanten-Bildung und der rein topologischen Dichte-Beziehung bzw. Abschluss-Bildung herstellt, wird als Bikommutantensatz bezeichnet.

Damit erweist sich der Bikommutantensatz als ein Dichtheitssatz. Zusammen mit dem weiteren <a href="Dichtheitssatz_von_Kaplansky" title="Dichtheitssatz von Kaplansky">Dichtheitssatz von Kaplansky</a> stellt er den Ausgangspunkt der Theorie der Von-Neumann-Algebren dar.

Eine Von-Neumann-Algebra kann nach einem Satz von <a href="Sh%C5%8Dichir%C5%8D_Sakai" title="Shōichirō Sakai">Shōichirō Sakai</a> auch abstrakt ohne einen zugrundeliegenden <a href="Hilbertraum" title="Hilbertraum">Hilbertraum</a> definiert werden:

<ul><li>Eine Von-Neumann-Algebra <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> ist eine <a href="C*-Algebra" title="C*-Algebra">C*-Algebra</a>, die der topologische <a href="Dualraum" title="Dualraum">Dualraum</a> eines <a href="Banachraum" title="Banachraum">Banachraums</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{\star }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{\star }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d393b38ed13405e4ca34d2d02e825cac68979b54.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.324ex; margin-bottom: -0.348ex; width:2.797ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A_{\star }}" loading="lazy"> ist.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Faktoren">Faktoren</h2></div>

Die Von-Neumann-Algebra <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> heißt Faktor, falls sie eine der beiden folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:

<msup>

</msup>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\cap A'=\mathbb {C} \cdot 1_{H}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9dc462a2baed1230d10bbf900b093a8b1ac78a42.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:16.063ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle A\cap A'=\mathbb {C} \cdot 1_{H}}" loading="lazy">.</li>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\cup A'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cf165fd1567cf7e6f682e4d567883c2fdbda20a6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.754ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A\cup A'}" loading="lazy"> erzeugt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L\left(H\right)}">

<mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L\left(H\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ba7386cbc9cf326b2d81752b07ddb471fe2f4b49.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.843ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle L\left(H\right)}" loading="lazy">.</li></ul>

Da <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\cap A'}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\cap A'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f1647937358df1b7f7bc6789746dcd8395a9bb76.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.754ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A\cap A'}" loading="lazy"> die Menge der Operatoren aus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> ist, die mit allen Operatoren aus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> kommutieren, ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\cap A'}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\cap A'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f1647937358df1b7f7bc6789746dcd8395a9bb76.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.754ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A\cap A'}" loading="lazy"> das <a href="Zentrum_(Algebra)" title="Zentrum (Algebra)">Zentrum</a> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy">. Faktoren sind daher die Von-Neumann-Algebren mit kleinst möglichem Zentrum.

Man kann Von-Neumann-Algebren als direktes Integral (eine Verallgemeinerung der direkten Summe) von Faktoren darstellen, das heißt, Von-Neumann-Algebren sind in diesem Sinne aus Faktoren zusammengesetzt.

<mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L\left(H\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ba7386cbc9cf326b2d81752b07ddb471fe2f4b49.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.843ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle L\left(H\right)}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {C} \cdot 1_{H}}">

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {C} \cdot 1_{H}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d3d43c399c2bd55ac63e31667b6216ea4be0e6e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.211ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {C} \cdot 1_{H}}" loading="lazy"> sind Beispiele für Faktoren. Mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> ist auch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A'}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/98a12527148d6ed68adc91d9b419eb4b92d58ef6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.428ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A'}" loading="lazy"> ein Faktor; offenbar gilt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L\left(H\right)'=\mathbb {C} \cdot 1_{H}}">

<msup>

<mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L\left(H\right)'=\mathbb {C} \cdot 1_{H}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a641f611043daf158c3faf4fefd943b1e5b37944.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.45ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle L\left(H\right)'=\mathbb {C} \cdot 1_{H}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\mathbb {C} \cdot 1_{H})'=L\left(H\right)}">

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</msup>

<mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\mathbb {C} \cdot 1_{H})'=L\left(H\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b32e706e8e9a6627de308fa39d9b7a23b33dc6c2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.646ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle (\mathbb {C} \cdot 1_{H})'=L\left(H\right)}" loading="lazy">.

Bei den Faktoren können 3 <a href="Typklassifikation_(Von-Neumann-Algebra)#Faktoren,_Dimensionsfunktion" title="Typklassifikation (Von-Neumann-Algebra)">Typen</a>, die <a href="Typ_I_Von-Neumann-Algebra" class="mw-redirect" title="Typ I Von-Neumann-Algebra">Typ I</a>, <a href="Typ_II_Von-Neumann-Algebra" class="mw-redirect" title="Typ II Von-Neumann-Algebra">Typ II</a> und <a href="Typ_III_Von-Neumann-Algebra" class="mw-redirect" title="Typ III Von-Neumann-Algebra">Typ III</a> heißen, unterschieden werden.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Kommutative_Von-Neumann-Algebren">Kommutative Von-Neumann-Algebren</h2></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Abelsche_Von-Neumann-Algebra" title="Abelsche Von-Neumann-Algebra">Abelsche Von-Neumann-Algebra</a></div>

Sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (X,{\mathfrak {X}},\mu )}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (X,{\mathfrak {X}},\mu )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/adf33e7c14a603b45a6b69fb0f9d64745b5ffe70.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.93ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (X,{\mathfrak {X}},\mu )}" loading="lazy"> ein <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/59f59b7c3e6fdb1d0365a494b81fb9a696138c36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \sigma }" loading="lazy">-endlicher <a href="Ma%C3%9Fraum" title="Maßraum">Maßraum</a>.

Dann ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H=}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H=}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/77715875611b934a97bd032cfc65ed46c1d1e851.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.517ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H=}" loading="lazy"> <a href="Lp-Raum" title="Lp-Raum">L2</a><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (X,{\mathfrak {X}},\mu )}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (X,{\mathfrak {X}},\mu )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/adf33e7c14a603b45a6b69fb0f9d64745b5ffe70.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.93ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (X,{\mathfrak {X}},\mu )}" loading="lazy"> ein Hilbertraum, und jede <a href="Wesentliches_Supremum" title="Wesentliches Supremum">wesentlich beschränkte</a> Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\in L^{\infty }(X,{\mathfrak {X}},\mu )}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\in L^{\infty }(X,{\mathfrak {X}},\mu )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8ae92989545d2e49cd4fe01be3e90ed0ad54d75f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.507ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f\in L^{\infty }(X,{\mathfrak {X}},\mu )}" loading="lazy"> definiert via Multiplikation einen Operator <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M_{f}\in L(H),M_{f}(g):=f\cdot g}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M_{f}\in L(H),M_{f}(g):=f\cdot g}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/26cfd2b6cf899b5665b3f1acca016504528d6897.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:26.856ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle M_{f}\in L(H),M_{f}(g):=f\cdot g}" loading="lazy">.

Die Menge aller <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M_{f}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M_{f}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/be53b2e05e15a7c85c9be0f4ba32d7f3ef28b98b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:3.39ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle M_{f}}" loading="lazy"> ist eine kommutative Von-Neumann-Algebra <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {M}}\subset L(H)}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {M}}\subset L(H)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c0dafe2c2c131c817dc0406755763a37a2869d75.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.345ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {M}}\subset L(H)}" loading="lazy">, und die Abbildung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\mapsto M_{f}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\mapsto M_{f}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b6065780e574b70d6aa3e372581ab89e1ad7f0c2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:8.283ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f\mapsto M_{f}}" loading="lazy"> ist ein *-<a href="Isomorphismus" title="Isomorphismus">Isomorphismus</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L^{\infty }(X,{\mathfrak {X}},\mu )\to {\mathcal {M}}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L^{\infty }(X,{\mathfrak {X}},\mu )\to {\mathcal {M}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/06dac61f3db218ca51cf2b91e98484677c03a262.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.793ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle L^{\infty }(X,{\mathfrak {X}},\mu )\to {\mathcal {M}}}" loading="lazy">. Man kann <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {M}}'={\mathcal {M}}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {M}}'={\mathcal {M}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cc53ee14d18e7c7f1db28e083505b327e57dabb0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.364ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {M}}'={\mathcal {M}}}" loading="lazy"> zeigen, das heißt, die Algebra <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {M}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {M}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2cc2abebd45ec020509a0ec548b67c9a2cb7cecd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.791ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {M}}}" loading="lazy"> stimmt mit ihrem Kommutanten überein.

Keine echte Oberalgebra kann daher kommutativ sein, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {M}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {M}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2cc2abebd45ec020509a0ec548b67c9a2cb7cecd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.791ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {M}}}" loading="lazy"> ist also eine maximale kommutative Von-Neumann-Algebra.

Betrachtet man speziell den Maßraum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ([0,1],{\mathcal {B}},\lambda )}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ([0,1],{\mathcal {B}},\lambda )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9c1d7a4458b08c63d4861f7f1d3dbe4ad0bed0d3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.428ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle ([0,1],{\mathcal {B}},\lambda )}" loading="lazy"> (Einheitsintervall mit dem <a href="Lebesgue-Ma%C3%9F" title="Lebesgue-Maß">Lebesgue-Maß</a>), so kann man zeigen, dass der Bikommutant von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{M_{f};\,f\in C([0,1])\}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{M_{f};\,f\in C([0,1])\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f69390c4aab6882a7ffe76cfcefb6a7bbed28c36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:19.484ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \{M_{f};\,f\in C([0,1])\}}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {M}}\cong L^{\infty }([0,1])}">

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {M}}\cong L^{\infty }([0,1])}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a0697b5ad8fe59a03d4e1f6a216b9df2125cb542.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.809ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {M}}\cong L^{\infty }([0,1])}" loading="lazy"> zusammenfällt.

Der Übergang vom topologischen Konstrukt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C([0,1])}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C([0,1])}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/44211c4c325ea7edb9462e7ccecda09841a41216.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.228ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle C([0,1])}" loading="lazy"> zum maßtheoretischen Konstrukt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L^{\infty }([0,1])}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L^{\infty }([0,1])}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/302c9594d17426c49c363bb2eaa3fd7febca1a73.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.92ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle L^{\infty }([0,1])}" loading="lazy"> entspricht dem Übergang von C*-Algebren zu Von-Neumann-Algebren.

Während man bei C*-Algebren wegen des <a href="Satz_von_Gelfand-Neumark" title="Satz von Gelfand-Neumark">Satzes von Gelfand-Neumark</a> von nicht-kommutativer Topologie spricht, gibt die hier angestellte Betrachtung Anlass, eine Von-Neumann-Algebra als einen nicht-kommutativen Maßraum anzusehen, man spricht daher auch von nicht-kommutativer Maßtheorie.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Eigenschaften">Eigenschaften</h2></div>

Jede Von-Neumann-Algebra ist eine <a href="C*-Algebra" title="C*-Algebra">C*-Algebra</a> und somit auch eine <a href="Banachalgebra" title="Banachalgebra">Banachalgebra</a>.

Wie sich aus dem <a href="Beschr%C3%A4nkter_Borel-Funktionalkalk%C3%BCl" title="Beschränkter Borel-Funktionalkalkül">beschränkten Borel-Funktionalkalkül</a> ergibt, enthalten Von-Neumann-Algebren sehr viele <a href="Orthogonalprojektion" title="Orthogonalprojektion">Orthogonalprojektionen</a>; jeder Operator ist in der <a href="Normtopologie" title="Normtopologie">Normtopologie</a> Limes von <a href="Linearkombination" title="Linearkombination">Linearkombinationen</a> von Orthogonalprojektionen.

Dies ist ein wesentlicher Unterschied zu den C*-Algebren, die, wie das Beispiel <a href="Funktionenraum" title="Funktionenraum">C([0,1])</a> zeigt, neben 0 und 1 keine weiteren Projektionen enthalten müssen.

Man kann aus der Menge der Projektionen einen <a href="Verband_(Mathematik)" title="Verband (Mathematik)">Verband</a> konstruieren;

die Struktur dieses Verbandes wird zur <a href="Typklassifikation_(Von-Neumann-Algebra)" title="Typklassifikation (Von-Neumann-Algebra)">Typklassifikation</a> der Von-Neumann-Algebren herangezogen.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<ul><li><a href="Typ_I_Von-Neumann-Algebra" class="mw-redirect" title="Typ I Von-Neumann-Algebra">Typ I Von-Neumann-Algebra</a></li>

<li><a href="Typ_II_Von-Neumann-Algebra" class="mw-redirect" title="Typ II Von-Neumann-Algebra">Typ II Von-Neumann-Algebra</a></li>

<li><a href="Typ_III_Von-Neumann-Algebra" class="mw-redirect" title="Typ III Von-Neumann-Algebra">Typ III Von-Neumann-Algebra</a></li>

<li><a href="Tomita-Takesaki-Theorie" title="Tomita-Takesaki-Theorie">Tomita-Takesaki-Theorie</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li><a href="Jacques_Dixmier" title="Jacques Dixmier">Jacques Dixmier</a>: Von Neumann algebras. North-Holland Publishing, Amsterdam u. a. 1981 (North-Holland Mathematical Library, Band. 27), ISBN 0-444-86308-7.</li>

<li><a href="Richard_Kadison" title="Richard Kadison">R.V. Kadison</a>, <a href="John_Ringrose" title="John Ringrose">J. R. Ringrose</a>: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras. Band I und II, Academic Press 1983, ISBN 0-123-93301-3 bzw. 1986, ISBN 0-123-93302-1</li>

<li><a href="Sh%C5%8Dichir%C5%8D_Sakai" title="Shōichirō Sakai">Shôichirô Sakai</a>: C*-Algebras and W*-Algebras. Springer, Berlin u. a. 1971 (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band. 60) ISBN 3-540-05347-6 (Nachdruck. ebenda 1998, ISBN 3-540-63633-1).</li>

<li><a href="Jacob_T._Schwartz" title="Jacob T. Schwartz">Jacob T. Schwartz</a>: W*-Algebras. Gordon & Breach, New York NY u. a. 1967.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> F.J. Murray, J. von Neumann: On rings of operators. Ann. of Math. (2), Band 37, 1936, Seiten 116–229.

</li>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> F.J. Murray, J. von Neumann: On rings of operators II. Trans. Amer. Math. Soc., Band 41, 1937, Seiten 208–248

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> F.J. Murray, J. von Neumann: On rings of operators IV. Ann. of Math. (2), Band 44, 1943, Seiten 716–808.

</li>

<li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> Newsletter of the EMS, Juni 2009, Interview mit Jacques Dixmier, Seite 36

</li>

</ol>

<div>

Normdaten (Sachbegriff): <a href="Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4388395-3">4388395-3</a> </div>

</div></div></div><div><div class="zim-footer">

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</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>